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【探索】單孔銷浮動(三)：DTAS在圓內(nèi)均勻分布的實現(xiàn)與驗證！
概要：上幾期文章中為實現(xiàn)均勻分布我們通常對半徑r在區(qū)間[0,R]內(nèi)按均勻分布采樣，對角度θ在區(qū)間[0,2π）內(nèi)按均勻分布采樣,實際這種方法并不是真正的均勻分布。本文將繼續(xù)探討如何真正實現(xiàn)銷在孔內(nèi)的均勻分布。我們不僅關(guān)注公差仿真建模，并且還探討深挖其背后的理論知識。
一. 現(xiàn)場工況與分析價值
眾所周知，孔銷配合一般用于對手件之間的相對定位。為保證孔銷的順利裝配，一般兩者的名義尺寸不同，且孔的下限尺寸比銷的上限尺寸稍大，因此銷在孔中存在相對位置浮動。
仍考慮單孔銷配合，上一期我們探討了孔銷相切的最大浮動工況，但現(xiàn)實中還存在其它的工況。例如：自動化生產(chǎn)線裝配中，當(dāng)機(jī)器人的定位精度足夠高時，零件的配合到位不需要銷頭部圓弧的導(dǎo)向，裝配后孔銷也未必相切接觸。弱化導(dǎo)向作用后，孔銷中心的相對位置可按正態(tài)分布仿真建模。當(dāng)然現(xiàn)實生產(chǎn)中，由于后續(xù)夾具定位，連接緊固的存在，孔銷浮動一般不會按上述理想的正態(tài)分布處理，而會在正態(tài)分布與相切浮動這兩個極端中尋找一種中間狀態(tài)，如按圓內(nèi)均勻分布進(jìn)行假設(shè)，如下圖1所示。
圖1 單銷孔配合符合圓內(nèi)均勻分布
二、 模擬方法一
銷在圖1的圓形公差帶內(nèi)均勻分布，我們首先想到的是可以利用極坐標(biāo)系分別定義半徑變量為r，角度變量為θ。對半徑r在區(qū)間[0,R]內(nèi)按均勻分布采樣，對角度θ在區(qū)間[0,2π）內(nèi)按均勻分布采樣。
2.1 仿真動畫驗證
我們按圖1的單孔銷尺寸建立DTAS仿真模型，并令銷在孔內(nèi)按照方法定義的分布形式進(jìn)行裝配，仿真結(jié)果如下。
圖2 半徑和角度按均勻分布采樣
仔細(xì)觀察圖2點分布的最終位置，中心密度更高，顯然不滿足圓內(nèi)均勻分布的目標(biāo)要求。
2.2 仿真結(jié)果的概率分布
我們進(jìn)一步為銷中心建立垂直方向的虛擬測量，進(jìn)行5000次虛擬裝配后得到圖3仿真測量結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)差為0.205分布。
圖3 銷中心垂直方向波動量仿真結(jié)果
三、模擬方法二
因為在半徑R的圓內(nèi)均勻分布，r和θ的聯(lián)合概率密度f(r，θ)=1/πR2要求角度也按均勻分布，所以θ的概率密度：
f(θ)=1/2π
因為變量r和θ獨立，因此二維隨機(jī)變量(r，θ)的分布函數(shù)F(r，θ)和邊緣分布函數(shù)FR(r),Fθ (θ)滿足：
F(r，θ)=FR (r) Fθ(θ)
上式也可用概率密度表示，即等價于聯(lián)合概率密度：
f(r,θ )=f(r)*f(θ)=1/πR2
仔細(xì)觀察上式可以得知r2 為0到R2均勻分布。有興趣的朋友可以理論推導(dǎo)上面的結(jié)論或聯(lián)系我們一起探討。
3.1 仿真模型的實現(xiàn)與驗證
若需按上文所述對銷半徑位置r平方在區(qū)間[0,R2 ]內(nèi)按均勻分布采樣，需按圖4所示設(shè)置孔銷浮動類型。
圖4 隨機(jī)浮動2
從波動軌跡可以看出，銷在孔內(nèi)波動體現(xiàn)了很好的均勻性。
圖5 半徑平方按均勻分布采樣
3.2 仿真結(jié)果的概率分布
同樣為銷中心建立垂直方向的虛擬測量，進(jìn)行5000次虛擬裝配后得到圖6仿真測量結(jié)果。其中標(biāo)準(zhǔn)差為0.252。
圖6 銷中心垂直方向波動量仿真結(jié)果
我們與方法1的標(biāo)準(zhǔn)差對比，明顯比方法1的大。由于方法1產(chǎn)生的隨機(jī)點在圓心處比較多，因此波動比較小，因此方差比較大。有興趣的朋友可以嘗試推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)差的模擬結(jié)果與理論值的差異有多大。經(jīng)過理論推導(dǎo)可知理論的標(biāo)準(zhǔn)差0.25，其概率密度如圖7所示。對比圖6方仿真結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)差仿真結(jié)果與理論吻合。
圖7 銷中心垂直方向波動量理論分布
四、 結(jié)論
1. 采用極坐標(biāo)法實現(xiàn)圓內(nèi)均勻分布，必須在角度方向滿足均勻分布，并且半徑的平方滿足均勻分布，而不是半徑滿足均勻分布，即半徑的采樣密度隨著遠(yuǎn)離中心而升高。我們可以用概率論和微積分的相關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)來驗證其正確性。
2. 圓中均勻采樣是一些裝配功能的基礎(chǔ)，例如兩/多孔銷裝配中銷中心位置的隨機(jī)均勻生成，此功能的正確實現(xiàn)保障了各類孔銷裝配中隨機(jī)采樣的準(zhǔn)確性，保證軟件仿真結(jié)果的正確性。
3. 在DTAS3D中用戶可以根據(jù)實際工況選擇上述兩種方法。
